Como definir o traçado de cabos de protensão

O que significa definir o traçado de cabos de protensão

Definir o traçado é escolher, seção por seção, onde o cabo passa dentro da peça — a decisão mais determinante do projeto protendido: a mesma força, 10 cm mais baixa no meio do vão, muda o momento de protensão, a tensão na borda tracionada e a perda por atrito.

O resultado vai para o canteiro como tabela de ordenadas: para cada posição X, a cota Y do eixo do cabo a partir de uma referência fixa, em geral a face inferior da fôrma. Um bom traçado acompanha o diagrama de momentos, mantém a excentricidade no fuso limite, respeita cobrimento e raio executáveis e controla o ângulo acumulado, que comanda o atrito.

Dados necessários antes de começar

• Seção: altura h, área A, inércia I, os módulos W_inf = I/y_inf e W_sup = I/y_sup e a posição do CG (y_cg).
• Esforços de serviço: o momento mínimo no ato da protensão (só peso próprio, em geral) e os das combinações da Tabela 13.4 da ABNT NBR 6118:2023.
• Sistema: pré ou pós-tração, aderente ou não; diâmetro externo da bainha; número e bitola das cordoalhas (f_ptk e A_p pela ABNT NBR 7483).
• Forças: P_i na saída do macaco, nos limites de σ_pi do §9.6.1.2.1; P₀ após as perdas imediatas; P_∞ após as progressivas.
• Coeficientes μ e k de atrito (§9.6.3.3.2.2) e a classe de agressividade, para o cobrimento da bainha (Tabela 7.2 da NBR 6118:2023).

As etapas do cálculo

1. Escolher a forma do traçado

A NBR 6118:2023 §18.6.1.1 admite armadura de protensão retilínea, curvilínea, poligonal ou de traçado misto, e a escolha segue o diagrama de momentos. O parabólico do 2º grau atende carregamento uniforme: curvatura constante produz carga transversal uniforme, que é o que se quer equilibrar. O poligonal serve à pré-tração e a cargas concentradas — acumula menos ângulo, mas gera força de desvio concentrada U ≈ P·α em cada vértice. O misto, parábolas com trechos retos junto às ancoragens, é o mais comum em pós-tração.

2. Excentricidade e fuso limite

A excentricidade é a distância do eixo do cabo ao CG, e_p(x) = y_cg − Y(x), e é ela que produz o momento de protensão. Na ancoragem o cabo sai no CG ou perto dele; no momento máximo busca-se a maior excentricidade viável. O fuso limite é a faixa que o cabo pode ocupar sem violar as tensões-limite nas bordas, no ato da protensão e em serviço. Pelo critério de descompressão (tração nula):

e_p ≥ M_ELS/P_∞ − W_inf/A (borda inferior em serviço)

e_p ≤ W_sup/A + M_mín/P₀ (borda superior no ato da protensão)

O fuso é o núcleo central (W/A para cada lado do CG) deslocado de M/P: onde o momento é grande ele desce; junto ao apoio, onde M tende a zero, fecha-se no próprio núcleo central — a excentricidade fica limitada a e_p ≤ W_sup/A (0,20 m no exemplo).

3. Escrever a parábola e tabelar as ordenadas

Com Y_a na ancoragem e Y_c no ponto mínimo, separadas pelo comprimento L, montam-se dois arcos: o de comprimento L − L₁, junto à ancoragem, sai com tangente horizontal e concorda em Y_b com a parábola principal de comprimento L₁, que morre no ponto mínimo também com tangente horizontal:

Y_b = (Y_a − Y_c)·L₁/L + Y_c

Y_i = (Y_b − Y_c)·X_i²/L₁² + Y_c, com X_i medido a partir do ponto mínimo

Y_i = Y_a − (Y_a − Y_b)·x²/(L − L₁)², com x medido a partir do início da curva

A interpolação de Y_b é a condição de tangência entre os arcos: no ponto de concordância a inclinação de ambos vale 2·(Y_a − Y_c)/L, o que garante traçado sem quina — que concentraria desvio angular e força de desvio. É essa geometria que a calculadora de Traçado de Cabos do CalcproX resolve: Y_b, L₁, a tabela de ordenadas, o diagrama e o memorial.

4. Cobrimento e raio mínimo de curvatura

Pela Tabela 7.2 da NBR 6118:2023 o cobrimento nominal em protendido é medido até a bainha — 30, 35, 45 e 55 mm em vigas e pilares nas CAA I a IV — e o §7.4.7.5 exige c_nom ≥ 0,5·φ_bainha, que governa em bainhas grossas. Daí Y_c,mín = c_nom + φ_bainha/2.

O raio sai direto da parábola: R = L₁²/[2·(Y_b − Y_c)] no arco principal e R = (L − L₁)²/[2·(Y_a − Y_b)] no arco junto à ancoragem, quase sempre o menor. Em R, Σα e w_p comprimentos e ordenadas entram na mesma unidade — aqui, metros: R = 7,20²/(2 × 0,36) = 72,0 m; já Y_b e Y_i são razões e saem em centímetros. O §18.6.1.2 dispensa justificativa do raio desde que supere 4 m para fios, 8 m para barras e 12 m para cordoalhas. Perto da face a curvatura produz empuxo no vazio, e a norma exige armadura que mantenha a posição do cabo.

5. Ângulo de desvio acumulado e perda por atrito

Σα soma os ângulos de desvio entre a ancoragem e a seção analisada, em radianos; em arcos rasos cada arco entra com a variação da própria inclinação, e acima fecha em Σα = 4·(Y_a − Y_c)/L. Com Σα e a abscissa x, a perda por atrito vem do §9.6.3.3.2.2:

ΔP(x) = P_i·[1 − e^{−(μ·Σα + k·x)}]

Sem ensaios a norma indica μ = 0,50 (cabo direto no concreto), 0,30 (barras ou fios com mossas ou saliências em bainha metálica), 0,20 (fios lisos ou cordoalhas em bainha metálica), 0,10 (idem, lubrificada) e 0,05 (cordoalha em bainha de polipropileno lubrificada); k = 0,01·μ por metro.

6. Carga equivalente de protensão

Um cabo curvo empurra o concreto para o lado côncavo, com força transversal por metro w_p = P/R = P·(d²Y/dx²). Curvatura constante gera carga uniforme e, para um cabo parabólico com flecha f num vão L_v, vale w_p = 8·P·f/L_v²; com tangentes horizontais nas ancoragens, a soma vertical é nula. Em isostática o momento de protensão é P·e_p(x); a carga equivalente ganha valor no hiperestático, onde separa o efeito isostático do hiperestático de protensão — e o §17.2.4.2.1 é explícito: na verificação do ELU entram apenas os esforços hiperestáticos.

Exemplo numérico

Números demonstrativos — não substituem o cálculo do seu caso.

Viga biapoiada pós-tracionada aderente, vão L_v = 20,00 m, seção 30 × 120 cm, C40, CAA II. Cabo resultante: 12 cordoalhas φ12,7 mm CP-190 RB (A_p = 12 × 98,7 = 1.184,4 mm²) em bainha metálica de 80 mm de diâmetro externo. Peso próprio 9,0 kN/m, demais permanentes 4,0 kN/m (g = 13,0 kN/m), acidental q = 3,5 kN/m, ψ₂ = 0,3.

Seção: A = 0,36 m²; I = 0,0432 m⁴; W_inf = W_sup = 0,072 m³; W/A = 0,20 m; y_cg = 60 cm. Momentos no meio do vão: peso próprio 9,0 × 20²/8 = 450,0 kN·m; quase permanente (13,0 + 0,3 × 3,5) × 20²/8 = 702,5 kN·m. Protensão: σ_pi = 0,77 × 1.900 = 1.463 MPa (§9.6.1.2.1), logo P_i = 1.184,4 × 1.463 = 1.732,8 kN; com 12 % de perdas imediatas e 25 % totais, P₀ ≈ 1.520 kN e P_∞ ≈ 1.300 kN.

Da ancoragem saem 1,00 m de trecho reto em Y = 60 cm (§18.6.1.5); a origem X = 0,00 da tabela é o fim dele, restando L = 9,00 m até o ponto mínimo, no meio do vão. Com Y_a = 60 cm (cabo no CG na ancoragem), Y_c = 15 cm e arco de concordância de 20 % → L₁ = 7,20 m e L − L₁ = 1,80 m. Assim Y_b = (60 − 15) × 7,20/9,00 + 15 = 51,00 cm. Tabelando (some 1,00 m a X para a distância à ancoragem):

X (m)	Xi (m)	Y (cm)	ep (m)
0,00	—	60,00	0,000
1,80	7,20	51,00 (Yb)	0,090
3,60	5,40	35,25	0,248
5,40	3,60	24,00	0,360
7,20	1,80	17,25	0,428
9,00	0,00	15,00	0,450

Verificações:

• Trecho reto de extremidade: 1,00 m em Y = 60 cm antes da curva, atendendo ao mínimo de 100 cm do §18.6.1.5 (50 cm em monocordoalha engraxada).
• Cobrimento: c_nom = máx(35; 0,5 × 80) = 40 mm → Y_c,mín = 40 + 40 = 8,0 cm, contra 15,0 cm adotados.
• Raios: 7,20²/(2 × 0,36) = 72,0 m e 1,80²/(2 × 0,09) = 18,0 m — ambos acima dos 12 m do §18.6.1.2.
• Ângulo e atrito: Σα = 4 × 0,45/9,00 = 0,200 rad (11,5°); no meio do vão x = 10,00 m e, com μ = 0,20 e k = 0,002, o expoente vale 0,040 + 0,020 = 0,060 → ΔP = 1.732,8 × (1 − e^−0,060) = 100,9 kN, ou 5,8 % de P_i.
• Fuso limite: 702,5/1.300 − 0,20 = 0,340 m ≤ e_p ≤ 0,20 + 450,0/1.520 = 0,496 m; adotado 0,450 m.
• Carga equivalente: 1.300 × 2 × 0,36/7,20² = 18,06 kN/m para cima nos 7,20 m (130,0 kN) e 1.300 × 2 × 0,09/1,80² = 72,2 kN/m para baixo nos 1,80 m (130,0 kN) — resultante nula; no trecho reto, curvatura e carga transversal nulas.

O momento de protensão no meio do vão é 1.300 × 0,450 = 585,0 kN·m — o mesmo de uma carga uniforme fictícia w_p = 8 × 1.300 × 0,45/20² = 11,7 kN/m para cima em todo o vão, ou 90 % da carga permanente e 71 % da total de serviço. A carga real do traçado não é uniforme: 18,06 kN/m para cima nos 14,40 m centrais e 72,2 kN/m para baixo nos 1,80 m junto a cada ancoragem. A tensão na borda inferior na quase permanente resulta 1.300/0,36 + 1.300 × 0,45/0,072 − 702,5/0,072 = +1,98 MPa de compressão. Para protensão limitada em pós-tração a Tabela 13.4 da NBR 6118:2023 exige duas verificações: ELS-D na quase permanente (acima) e ELS-F na frequente; a compressão ainda respeita 0,45·f_ck e 0,60·f_ck nessas combinações (§17.2.4.4.1), com folga aqui.

Erros comuns

• Confundir ordenada com excentricidade. Y é cota a partir da fôrma; e_p é distância ao CG. Em seção T ou I o CG não está a h/2, e trocar um pelo outro erra o momento de protensão em dezenas de por cento.
• Colocar o cabo no limite do cobrimento. O cobrimento vai até a bainha e respeita c_nom ≥ 0,5·φ_bainha; com estribo e espaçamentos entre bainhas (Tabela 18.1 da NBR 6118:2023), sobra menos altura que a estimativa inicial.
• Ignorar o fuso junto ao apoio. Ali o momento tende a zero e o fuso se fecha no núcleo central: excentricidade além de W_sup/A nessa região traciona a borda superior no ato da protensão — por isso o cabo sobe em direção à ancoragem.
• Esquecer o trecho reto nas extremidades. O §18.6.1.5 exige segmentos retos de no mínimo 100 cm (50 cm em monocordoalha engraxada) para alinhar o cabo ao eixo do dispositivo de ancoragem.
• Tratar poligonal como parábola. Na quina a força de desvio é concentrada, não distribuída: exige dispositivo de desvio e verificação local.

Responsabilidade técnica

Nenhuma ferramenta — inclusive a nossa — substitui o projetista. A calculadora de Traçado de Cabos documenta a geometria: ordenadas ponto a ponto, diagrama e memorial. A força de protensão, as perdas, as verificações nos estados-limites, as regiões de ancoragem e a compatibilização com a armadura passiva seguem decisões de engenharia. Procure o engenheiro responsável em estrutura hiperestática, protensão externa ou não aderente, reforço de estrutura existente ou dúvida sobre os esforços. A responsabilidade técnica pelo projeto (ART/RRT) permanece integralmente com o engenheiro civil habilitado.