Como calcular as perdas de protensão

O que significa calcular as perdas de protensão

A força que o macaco aplica na cordoalha nunca é a que trabalha na peça em serviço. Calcular as perdas é rastrear essa força etapa por etapa até o valor efetivo P∞, que alimenta as verificações de tensões, fissuração e flechas.

A ABNT NBR 6118 separa as perdas em imediatas — atrito cabo-bainha, cravação da ancoragem e encurtamento elástico — e progressivas, que se desenvolvem no tempo e interagem entre si: retração e fluência do concreto e relaxação do aço.

Superestimar P∞ deixa a peça com menos protensão que a calculada, contra a segurança na fissuração e nas flechas; subestimar não é só antieconômico — é protensão real maior que a prevista, com tração na fibra superior, ELU no ato da protensão, contraflecha excessiva e hiperestáticos maiores que os considerados. A perda total costuma ficar entre 20% e 30% da força de macaco — referência de leitura, não atalho de projeto.

O roteiro serve às duas técnicas. Na pós-tração valem as três parcelas imediatas e o fator (Nc − 1)/(2·Nc), porque os cabos vão um a um. Na pré-tração não há atrito em bainha nem cravação na peça, a liberação é simultânea e o limite de tensão inicial é outro.

Dados necessários antes de começar

• Geometria: bw, h e L, de onde saem Ac e Ic.
• Traçado: excentricidade ep na seção, comprimento Σx da ancoragem até ela e desvios angulares Σα.
• Armadura ativa: Ap1 de uma cordoalha, número Nc, força de macaco por cordoalha, Ep (usual 200 GPa), fptk e o tipo de aço (RN ou RB).
• Concreto: fck, αE do agregado (1,2 basalto; 1,0 granito e gnaisse; 0,9 calcário; 0,7 arenito), idade t0 na protensão e tipo de cimento.
• Sistema de protensão: atrito μ, perda parasita k por metro e recuo δ — dados do fornecedor, não valores universais.
• Carga na transferência: momento de peso próprio Mg no instante da protensão.
• Longa duração: ψ1000 da Tabela 8.3 da NBR 6118, em função de σp0/fptk e do tipo de aço, e φ(t,t0) e εcs(t,t0) da Tabela 8.1, função da umidade, de 2Ac/u e da idade.

As etapas do cálculo

1. Propriedades do concreto na idade da protensão

A protensão raramente ocorre aos 28 dias. A resistência em t0 é fck,j = β1·fck, com β1 = e^{s·[1 − (28/t)0,5]} e s = 0,38 (CP III e CP IV), 0,25 (CP I e CP II) ou 0,20 (CP V-ARI), NBR 6118 §12.3.3. Aos 28 dias, Eci = αE·5600·√fck para fck ≤ 50 MPa (acima disso, Eci = 21,5·10³·αE·(fck/10 + 1,25)^1/3); na protensão, Eci(t) = (fck,j/fck)^0,5·Eci, com expoente 0,3 se fck > 50 MPa (§8.2.8). Daí αp = Ep/Eci(t), αp,28 = Ep/Eci e ρp = Ap/Ac.

2. Tensão inicial no aço

σpi = Pi/Ap deve respeitar o limite na saída do aparelho de tração, que a NBR 6118 §9.6.1.2.1 fixa pelo tipo de protensão, sempre em função de fptk: 0,74·fptk na pré-tração, 0,77·fptk na pós-tração aderente, 0,80·fptk na pós-tração não aderente e 0,72·fptk nas barras CP-85/105. Pelo §9.6.1.2.2, ao término da operação a tensão remanescente σp0 também não pode superar 0,77·fptk. Reprovando, reduza a força ou aumente Nc.

3. Perda por atrito (pós-tração)

A força cai exponencialmente ao longo do cabo (Σα em rad):

ΔP = Pi·(1 − e^{−(μ·Σα + k·Σx)})

A NBR 6118 §9.6.3.3 tabula μ pelos materiais em contato — 0,50 cabo-concreto sem bainha, 0,20 cordoalha-bainha metálica, 0,05 cordoalha-bainha de polipropileno lubrificada — e admite k = 0,01·μ por metro sem dados experimentais.

4. Perda por cravação da ancoragem

Ao transferir a carga às cunhas o cabo recua alguns milímetros. Esse recuo δ é alongamento perdido, mas o atrito reage e o confina a um trecho junto à ancoragem ativa, de comprimento

X = √( δ·Ep / (σpi·ω) ), com ω = (μ·Σα + k·Σx)/Σx, a perda por atrito por metro de cabo

Na ancoragem, Δσp,anc = 2·δ·Ep/X; a uma distância x < X, Δσp(x) = Δσp,anc·(1 − x/X); além de X a perda é nula. Δεp = δ/L, com o recuo espalhado por toda a peça, só vale no caso-limite X ≥ L e nunca representa a ancoragem, onde a tensão é máxima. δ vem de ensaio ou do fabricante.

5. Perda por encurtamento elástico do concreto

A força entrando na peça encurta o concreto e o cabo perde tensão. Entra a tensão no concreto no nível do cabo, positiva na compressão:

σcp = P/Ac + P·ep²/Ic ; σcg = Mg·ep/Ic ; σc,p0g = σcp − σcg

Com a protensão sequencial: Δσp = αp·(Nc − 1)/(2·Nc)·σc,p0g. O fator tende a 0,5 com muitos cabos e é zero com um só; ao fim tem-se P0.

6. Perdas progressivas — método simplificado

As três parcelas não são independentes: o encurtamento do concreto alivia o aço, que alivia o concreto. O método simplificado da NBR 6118 §9.6.3.4.2 as resolve acopladas:

Δσp = [ |εcs|·Ep + αp(t)·σc,p0g·φ + σp0·χ ] / [ χp + χc·αp,28·ηp·ρp ]

com ψ(t,t0) = 2,5·ψ1000, χ = −ln(1 − ψ), χc = 1 + 0,5·φ, χp = 1 + χ e ηp = 1 + ep²·Ac/Ic. O denominador é o acoplamento que impede a soma simples; σc,p0g e σp0 = P0/Ap usam a força já descontada das imediatas. Vale para fase única de operação e cabos próximos o bastante para valerem como um cabo resultante.

7. Processo aproximado e força final

A norma admite um processo aproximado (§9.6.3.4.3) desde que valham as mesmas condições do simplificado e a retração não difira mais de 25% de 8×10⁻⁵·φ(t,t0). A expressão depende do aço — tensões em MPa, σc,p0g positiva na compressão:

RB: Δσp = [7,4 + (αp,28/18,7)·φ^1,07·(3 + σc,p0g)]·σp0/100

RN: Δσp = [18,1 + (αp,28/47)·φ^1,57·(3 + σc,p0g)]·σp0/100

Fora dessa faixa não há contraprova: vale o simplificado. A força final é P∞ = P0 − Ap·Δσp — é ela, e não a força de macaco, que entra nos estados-limites de serviço.

Exemplo numérico

Números demonstrativos: não substituem o cálculo do seu caso.

Viga pós-tracionada aderente, biapoiada, L = 20,00 m, seção 30 × 100 cm, C35 com granito (αE = 1,0), CP V-ARI, protensão aos 7 dias. Doze cordoalhas CP-190 RB de Ap1 = 0,99 cm² (Ap = 11,88 cm²), Ep = 200 GPa, fptk = 1900 MPa, 138,6 kN de macaco por cordoalha e ep = 35 cm no meio do vão. Sistema com μ = 0,20, k = 0,002 m⁻¹ e δ = 6 mm; até a seção, Σx = 10,0 m e Σα = 8,0°. Com umidade 75% e 2Ac/u = 23 cm, φ(t∞,t0) = 2,8 e εcs(t∞,t0) = −0,36‰.

Propriedades. Ac = 3000 cm²; Ic = 2 500 000 cm⁴; ρp = 0,00396. Com s = 0,20 e t = 7 dias, β1 = e^−0,20 = 0,819 e fck,j = 28,7 MPa; Eci = 5600·√35 = 33 130 MPa e Eci(t) = 33 130 × √(28,7/35) = 30 000 MPa, logo αp = 6,67 e αp,28 = 6,04. Pi = 12 × 138,6 = 1663,2 kN e σpi = 1663,2/11,88 = 140,0 kN/cm² = 1400 MPa ≤ 0,77 × 1900 = 1463 MPa — atende.

Atrito. μ·Σα = 0,20 × 8,0° × π/180 = 0,0279 e k·Σx = 0,0200, somando 0,0479; e^−0,0479 = 0,9532 e ΔP = 1663,2 × 0,0468 = 77,8 kN. Cravação. ω = 0,0479/10,0 = 0,00479 m⁻¹ e X = √(0,006 × 200 000/(1400 × 0,00479)) = 13,4 m < 20 m — a perda não é uniforme. Na ancoragem, Δσp,anc = 2 × 0,006 × 200 000/13,4 = 179 MPa; a 10,0 m, Δσp = 179 × (1 − 10,0/13,4) = 45,4 MPa e ΔP = 11,88 × 4,54 = 53,9 kN.

Encurtamento elástico. Com P = 1663,2 − 77,8 − 53,9 = 1531,5 kN: σcp = 1531,5/3000 + 1531,5 × 35²/2 500 000 = 1,2609 kN/cm² = 12,61 MPa. O peso próprio é 7,5 kN/m, Mg = 375 kN·m e σcg = 37 500 × 35/2 500 000 = 5,25 MPa. Logo σc,p0g = 7,36 MPa, Δσp = 6,67 × (11/24) × 7,36 = 22,5 MPa e ΔP = 26,7 kN, com P0 = 1504,8 kN — cuja tensão, σp0 = 1267 MPa, também fica abaixo de 1463 MPa.

Perdas progressivas. Agora σc,p0g = 12,39 − 5,25 = 7,14 MPa e σp0 = 1267 MPa = 0,67·fptk, entrada da Tabela 8.3: cordoalha RB dá ψ1000 = 2,1% (interpolado entre 1,3% em 0,6·fptk e 2,5% em 0,7·fptk). Então ψ = 0,0525; χ = 0,0539; χc = 2,40; χp = 1,0539; ηp = 1 + 35² × 3000/2 500 000 = 2,47. Numerador: 0,00036 × 200 000 + 6,67 × 7,14 × 2,8 + 1267 × 0,0539 = 273,6. Denominador: 1,0539 + 2,40 × 6,04 × 2,47 × 0,00396 = 1,1957. Δσp = 228,8 MPa e ΔP = 271,8 kN.

Etapa	Perda	Força restante
Força de macaco	—	1663,2 kN
Atrito	77,8 kN (4,7%)	1585,4 kN
Cravação	53,9 kN (3,2%)	1531,5 kN
Encurtamento	26,7 kN (1,6%)	1504,8 kN
Imediatas	158,4 kN (9,5%)	P0 = 1504,8 kN
Progressivas	271,8 kN (16,3%)	P∞ = 1233,0 kN
Perda total	430,2 kN	25,9%

O processo aproximado não vale de contraprova aqui: 8×10⁻⁵ × 2,8 = 0,224‰ admite, com os 25% de tolerância, de 0,168‰ a 0,280‰, e a retração adotada (0,36‰) passa disso em 61%. A decomposição explica os 25,9%: as progressivas valem quase dois terços do total, puxadas pelo φ elevado (2,8, de protender aos 7 dias), e a cravação, contida pelo atrito, entrega no meio do vão um quarto do que tira na ancoragem. Foi esse encadeamento que orientou a calculadora de perdas de protensão do CalcproX, que percorre as duas famílias e emite o memorial.

Erros comuns

• Adotar uma perda percentual fixa. Serve de pré-dimensionamento, não de projeto: a mesma viga com δ = 6 mm em 8 m de cabo sai de faixa.
• Espalhar o recuo de cravação por todo o cabo. Δεp = δ/L só vale quando X supera o comprimento da peça; com atrito, a perda é máxima na ancoragem e zera em X.
• Usar o processo aproximado fora da faixa — ou a expressão do aço RB num cabo RN, que subestima a perda diferida.
• Tratar μ, k e δ como constantes universais. São do sistema contratado: bainha metálica e de polipropileno lubrificada diferem por fator quatro no μ.
• Adotar um único limite de tensão inicial. A NBR 6118 §9.6.1.2.1 fixa 0,74·fptk na pré-tração, 0,77·fptk na pós-tração aderente, 0,80·fptk na não aderente e 0,72·fptk nas barras CP-85/105.

Responsabilidade técnica

Nenhuma ferramenta — inclusive a nossa — substitui o projetista. μ, k e δ vêm do sistema de protensão; φ(t,t0), εcs(t,t0) e ψ1000 dependem de hipóteses ambientais, do aço e de cronograma que só o autor do projeto fixa; os esforços da transferência vêm do modelo estrutural. Procure o engenheiro responsável em traçado complexo, protensão por etapas, hiperestáticos com efeitos secundários ou seções não retangulares. A conferência dos dados e a responsabilidade técnica (ART/RRT) permanecem com o engenheiro civil habilitado.